Gli eventi rispondono a domande sì o no: «è uscito un sei?», «il server ha risposto?». Molte domande però chiedono un numero: quanti errori in un'ora, quanti secondi di latenza, quanti euro vinti o persi. Per trattarle serve una variabile aleatoria, e i due numeri che la riassumono più spesso: il valore atteso e la varianza.
Che cos'è una variabile aleatoria
Nonostante il nome, una variabile aleatoria non è una variabile né è «casuale» in senso vago: è una funzione che associa un numero a ogni esito di un esperimento. Se lanciamo due dadi, la somma dei punti è una variabile aleatoria che vale da 2 a 12. Il numero di richieste che arrivano a un server in un minuto è un'altra.
Si distinguono due tipi:
- discrete, che assumono valori isolati, di solito interi (numero di difetti, di clic, di teste);
- continue, che possono assumere qualunque valore in un intervallo (tempi, temperature, pesi).
Una variabile discreta è descritta dalla sua distribuzione di probabilità: l'elenco dei valori possibili con la probabilità di ciascuno.
Il valore atteso
Il valore atteso, indicato con E[X], è la media dei valori possibili pesata con le probabilità:
E[X] = Σ x · P(X = x)
Per un dado equilibrato: E[X] = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5.
Il valore atteso non è necessariamente un valore possibile: nessun dado mostra 3,5. È il baricentro della distribuzione, e il valore intorno a cui si stabilizza la media di molte ripetizioni.
Un gioco da valutare
Paghi 1 euro per lanciare un dado; se esce 6 ricevi 5 euro, altrimenti nulla. Il guadagno netto vale +4 con probabilità 1/6 e −1 con probabilità 5/6:
E[guadagno] = 4 · (1/6) + (−1) · (5/6) = −1/6 ≈ −0,17 euro
In media perdi circa 17 centesimi a partita. Su una partita sola può andare bene, ma su mille partite la perdita attesa è di circa 167 euro.
La linearità dell'attesa
Una proprietà potentissima è che il valore atteso di una somma è la somma dei valori attesi:
E[X + Y] = E[X] + E[Y] e E[aX + b] = a · E[X] + b
Vale sempre, anche se X e Y sono dipendenti. La somma di due dadi ha attesa 3,5 + 3,5 = 7, senza dover elencare le 36 combinazioni.
Questa proprietà risolve problemi che sembrano difficili. Se dieci persone lasciano il cappello all'ingresso e lo riprendono a caso, quante in media riprendono il proprio? Ogni persona ha probabilità 1/10 di prendere il suo cappello, quindi l'attesa è 10 · 1/10 = 1. E il risultato non cambia con cento o mille persone.
La varianza: quanto ci si allontana dalla media
Due variabili possono avere lo stesso valore atteso ed essere molto diverse. Un investimento che rende sempre 100 euro e uno che rende 0 o 200 con uguale probabilità hanno la stessa attesa, ma non lo stesso rischio. La varianza misura quanto i valori si disperdono intorno all'attesa:
Var(X) = E[(X − E[X])²] = E[X²] − (E[X])²
Per il dado: E[X²] = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 = 91/6, quindi Var(X) = 91/6 − 3,5² = 35/12 ≈ 2,92.
Poiché la varianza è espressa in unità al quadrato, si usa spesso la deviazione standard, la sua radice quadrata, che ha la stessa unità di misura della variabile. Per il dado vale circa 1,71.
Proprietà della varianza
- Var(aX + b) = a² · Var(X): aggiungere una costante non cambia la dispersione, moltiplicare per a la scala di a².
- Se X e Y sono indipendenti, Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).
- Se non sono indipendenti, bisogna aggiungere un termine di covarianza: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y).
A differenza dell'attesa, quindi, la varianza della somma richiede attenzione alla dipendenza.
Perché la media da sola non basta
Nel lavoro tecnico il valore atteso viene usato ovunque, ma da solo può ingannare:
- Latenza: un tempo medio di risposta di 200 millisecondi può nascondere un 1% di richieste che impiegano diversi secondi. Gli utenti ricordano quelle.
- Costi di un guasto: un evento raro ma catastrofico può avere un'attesa modesta e allo stesso tempo essere inaccettabile, perché non si ha la possibilità di «fare la media» su molte ripetizioni.
- Progetti: stimare la durata media delle attività e sommarle dà l'attesa del totale, ma non dice quanto sia probabile sforare di molto.
Per questo, accanto all'attesa, si guardano sempre una misura di dispersione e, quando possibile, i percentili alti della distribuzione.
Un riepilogo pratico
| Grandezza | Che cosa dice | Esempio con un dado |
|---|---|---|
| Valore atteso | Baricentro, media a lungo termine | 3,5 |
| Varianza | Dispersione, in unità al quadrato | circa 2,92 |
| Deviazione standard | Dispersione, nella stessa unità | circa 1,71 |
In sintesi
- Una variabile aleatoria assegna un numero a ogni esito di un esperimento.
- Il valore atteso è la media pesata con le probabilità e non deve essere un valore possibile.
- L'attesa di una somma è sempre la somma delle attese, anche con variabili dipendenti.
- La varianza misura la dispersione; per somme di variabili dipendenti serve la covarianza.
- Valutare un rischio richiede almeno attesa e dispersione, meglio ancora i percentili.
