«Lo stipendio medio in azienda è di 3.620 euro.» La frase può essere aritmeticamente corretta e allo stesso tempo descrivere male la realtà di quasi tutti i dipendenti. Gli indici di posizione riassumono un insieme di dati con un solo numero, ma ogni indice risponde a una domanda diversa. Scegliere quello sbagliato è uno dei modi più semplici per comunicare un'impressione falsa senza dire nulla di tecnicamente scorretto.
Un esempio per partire
Una piccola azienda ha dieci dipendenti con questi stipendi mensili, in euro:
1.500, 1.600, 1.700, 1.800, 1.800, 1.800, 1.900, 2.000, 2.100, 20.000
L'ultimo valore è quello del titolare. Calcoliamo i tre indici classici.
- Media aritmetica: la somma è 36.200, divisa per 10 dà 3.620 euro.
- Mediana: ordinati i valori, i due centrali sono 1.800 e 1.800, quindi la mediana è 1.800 euro.
- Moda: il valore più frequente è 1.800 euro, che compare tre volte.
Nove persone su dieci guadagnano meno della media. La mediana e la moda descrivono molto meglio lo stipendio tipico.
La media aritmetica
La media è la somma dei valori divisa per il loro numero. Ha proprietà matematiche ottime: usa tutti i dati, si combina facilmente tra gruppi ed è il punto che minimizza la somma dei quadrati degli scarti. Per questo è alla base di quasi tutti i metodi statistici.
Il suo difetto è la sensibilità ai valori estremi. Basta un solo dato anomalo per spostarla di molto, come nell'esempio. Si dice che la media non è robusta.
La mediana
La mediana è il valore centrale dei dati ordinati: metà dei valori sta sotto, metà sopra. Con un numero pari di dati si prende la media dei due centrali. È robusta: se lo stipendio del titolare passasse da 20.000 a 200.000 euro, la mediana resterebbe 1.800.
È l'indice giusto per grandezze asimmetriche come redditi, prezzi delle case, tempi di risposta, dimensioni dei file. Il suo limite è che ignora quanto siano lontani i valori estremi: due distribuzioni con la stessa mediana possono avere code molto diverse.
La moda
La moda è il valore più frequente. È l'unico indice di posizione utilizzabile con dati qualitativi: il browser più usato dai visitatori, il codice di errore più comune, la taglia più venduta. Con dati continui serve poco, perché valori esattamente uguali sono rari; si usa allora la classe modale di un istogramma. Una distribuzione può avere più mode, e questo spesso segnala la presenza di gruppi diversi mescolati.
Indici meno noti ma utili
La media troncata
Si eliminano una percentuale fissa di valori ai due estremi, per esempio il 10% più basso e il 10% più alto, e si calcola la media dei restanti. È un compromesso tra la media e la mediana: resiste agli estremi ma usa più informazione della sola mediana.
La media geometrica
Serve per grandezze che si moltiplicano, come i tassi di crescita. Se un valore aumenta del 10% e poi diminuisce del 10%, la media aritmetica dei tassi è 0%, ma il valore finale è 1,1 · 0,9 = 0,99 volte quello iniziale. La media geometrica dei fattori, √0,99 ≈ 0,995, indica correttamente una perdita di circa lo 0,5% per periodo.
La media armonica
Serve per medie di rapporti come le velocità. Se si percorre un tragitto all'andata a 60 km/h e al ritorno, sulla stessa distanza, a 40 km/h, la velocità media non è 50 km/h ma 48 km/h, perché si passa più tempo alla velocità più bassa. La media armonica dà proprio questo valore.
Come scegliere
| Situazione | Indice consigliato |
|---|---|
| Dati simmetrici senza valori anomali | Media aritmetica |
| Dati asimmetrici o con valori estremi | Mediana |
| Dati qualitativi o categorie | Moda |
| Dati con pochi valori anomali da attenuare | Media troncata |
| Tassi di crescita, rendimenti | Media geometrica |
| Velocità, rapporti su quantità fisse | Media armonica |
Un caso tecnico: le latenze
Nel monitoraggio dei servizi web la media dei tempi di risposta è quasi sempre fuorviante. Pochi casi lentissimi la gonfiano, e allo stesso tempo la media nasconde quanti utenti stanno davvero aspettando. Per questo si usano i percentili: la mediana dice com'è la richiesta tipica, il 95° o il 99° percentile dicono quanto è lenta l'esperienza peggiore che una quota non trascurabile di utenti subisce. Nel mio lavoro preferisco sempre mostrare insieme mediana e percentili alti, perché raccontano due storie diverse e complementari.
L'onestà della comunicazione
Quando si presenta un dato riassuntivo:
- dichiara quale indice stai usando, senza scrivere solo «in media»;
- se i dati sono asimmetrici, affianca media e mediana;
- indica sempre anche una misura di dispersione;
- se ci sono gruppi diversi, considera di presentarli separatamente.
In sintesi
- Media, mediana e moda rispondono a domande diverse sullo stesso insieme di dati.
- La media è sensibile ai valori estremi; la mediana è robusta.
- La moda è l'unico indice di posizione per dati qualitativi.
- Media geometrica e armonica servono rispettivamente per tassi di crescita e per rapporti.
- Per le latenze e i dati asimmetrici, mediana e percentili alti valgono più della media.
