Quasi tutte le domande interessanti di probabilità sono condizionate. Non ci chiediamo quanto sia probabile un guasto in assoluto, ma quanto sia probabile sapendo che la temperatura del disco è alta; non quanto sia probabile che un login sia fraudolento, ma quanto lo sia dato che arriva da un paese insolito alle tre di notte. La probabilità condizionata è lo strumento che formalizza questo «sapendo che».
La definizione
La probabilità di A dato B si scrive P(A|B) e si definisce come:
P(A|B) = P(A e B) / P(B), con P(B) > 0
L'idea è semplice: sapere che B è accaduto restringe lo spazio degli esiti possibili a B. Dentro questo nuovo universo, ci chiediamo quale frazione sia occupata anche da A.
Un esempio con il dado
Lanciamo un dado equilibrato. Qual è la probabilità che sia uscito il 6, sapendo che è uscito un numero pari? Gli esiti pari sono {2, 4, 6}, tre casi equiprobabili, e il 6 è uno di essi: P(6 | pari) = 1/3. Con la formula: P(6 e pari) = 1/6, P(pari) = 1/2, quindi (1/6)/(1/2) = 1/3.
Le tabelle a doppia entrata
Con dati reali, il modo più chiaro di ragionare è una tabella di conteggi. Supponiamo di analizzare 1.000 accessi a un servizio, classificati per provenienza e per esito di una verifica successiva:
| Fraudolento | Legittimo | Totale | |
|---|---|---|---|
| Paese abituale | 10 | 890 | 900 |
| Paese insolito | 30 | 70 | 100 |
| Totale | 40 | 960 | 1.000 |
Da qui si leggono probabilità diverse che spesso vengono confuse:
- P(fraudolento) = 40/1.000 = 4%.
- P(fraudolento | paese insolito) = 30/100 = 30%.
- P(paese insolito | fraudolento) = 30/40 = 75%.
Le ultime due rispondono a domande completamente diverse. La prima dice: se vedo un accesso da un paese insolito, quanto devo preoccuparmi? La seconda dice: tra le frodi, quante vengono da paesi insoliti? Una regola che blocca tutti i paesi insoliti fermerebbe il 75% delle frodi, ma 7 accessi bloccati su 10 sarebbero di utenti legittimi.
L'errore dell'inversione
Scambiare P(A|B) con P(B|A) è uno degli errori più frequenti e più pericolosi. In ambito giudiziario ha un nome, fallacia del procuratore: «la probabilità che un innocente abbia questo profilo è una su un milione, quindi la probabilità che l'imputato sia innocente è una su un milione». Non è così: la seconda probabilità dipende anche da quante persone, nella popolazione rilevante, potrebbero avere quel profilo. Il passaggio corretto da una direzione all'altra richiede il teorema di Bayes e la conoscenza delle probabilità di base.
La regola del prodotto
Riscrivendo la definizione si ottiene:
P(A e B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)
Serve per calcolare probabilità di eventi in sequenza. Pescando due carte senza reinserimento da un mazzo di 52, la probabilità che siano entrambe assi è (4/52) · (3/51) = 12/2.652 ≈ 0,0045. Il secondo fattore è condizionato: se la prima carta era un asso, ne restano 3 su 51.
Indipendenza
Due eventi sono indipendenti se sapere che uno è accaduto non cambia la probabilità dell'altro: P(A|B) = P(A). Equivalentemente:
P(A e B) = P(A) · P(B)
Due lanci di una moneta sono indipendenti; due carte pescate senza reinserimento no.
Indipendenza non vuol dire incompatibilità
È una confusione comune. Due eventi incompatibili con probabilità positiva sono anzi fortemente dipendenti: se uno accade, l'altro diventa impossibile. «Esce 1» ed «esce 2» nello stesso lancio di dado sono incompatibili, e sapere che è uscito 1 porta a zero la probabilità del 2.
L'indipendenza è un'ipotesi da verificare
Nei calcoli di affidabilità si moltiplica spesso: se ogni disco di un sistema ha probabilità 0,01 di guastarsi in un anno, la probabilità che se ne guastino due insieme sembra 0,0001. Ma i dischi acquistati nello stesso lotto, nello stesso server, con le stesse vibrazioni e temperature, non sono indipendenti. I guasti tendono a raggrupparsi, e la probabilità reale di un doppio guasto può essere molto più alta di quanto suggerisca il prodotto. È uno dei motivi per cui i backup su supporti e luoghi diversi valgono più di una semplice ridondanza locale.
Indipendenza condizionata
Due eventi possono essere dipendenti in generale ma indipendenti una volta noto un terzo fattore. Le vendite di gelati e le scottature solari sono correlate, ma fissata la quantità di sole della giornata smettono di esserlo. Questa idea è alla base dei modelli probabilistici più usati, dai classificatori bayesiani alle reti bayesiane, e anticipa il tema delle variabili confondenti.
Come esercitarsi
- Costruisci sempre lo spazio ristretto: «dato B» significa «guardo solo dentro B».
- Quando hai dati, disegna la tabella dei conteggi prima di scrivere formule.
- Leggi ad alta voce la condizione: «tra quelli che… quanti…?». Aiuta a non invertire.
- Prima di moltiplicare probabilità, chiediti se c'è un meccanismo comune che lega gli eventi.
In sintesi
- P(A|B) è la frazione di B in cui accade anche A: il condizionamento restringe lo spazio.
- P(A|B) e P(B|A) possono essere molto diverse: invertirle è un errore grave.
- La regola del prodotto permette di calcolare eventi in sequenza.
- Indipendenza significa che un evento non cambia la probabilità dell'altro, non che si escludono.
- L'indipendenza va giustificata: cause comuni la rompono spesso.
