Il rosso è uscito sette volte di fila alla roulette: adesso il nero «deve» uscire. Un numero non viene estratto al lotto da mesi: è «maturo». Ragionamenti come questi sono diffusissimi e si appoggiano, in modo sbagliato, a un risultato matematico vero: la legge dei grandi numeri. Capire cosa dice esattamente quella legge è il modo migliore per smontare l'errore.
Cosa afferma la legge dei grandi numeri
Consideriamo prove indipendenti e identiche, come lanci di una moneta equilibrata. La legge dei grandi numeri afferma che, al crescere del numero di prove, la frequenza relativa di un evento si avvicina alla sua probabilità. Più in generale, la media di molte osservazioni indipendenti con la stessa distribuzione si avvicina al valore atteso.
Dopo 10 lanci la proporzione di teste può facilmente essere 0,3 o 0,7. Dopo 10.000 lanci sarà quasi certamente molto vicina a 0,5. È questo che rende possibili i sondaggi, le assicurazioni, le simulazioni Monte Carlo e il controllo statistico dei processi.
Cosa la legge non afferma
Il punto cruciale è che la convergenza riguarda la proporzione, non il numero assoluto di successi. La differenza tra teste e croci, in valore assoluto, tende anzi a crescere con il numero di lanci, anche se cresce più lentamente del numero di lanci stesso.
| Lanci | Scarto tipico della proporzione da 0,5 | Scarto tipico nel numero di teste |
|---|---|---|
| 100 | circa 0,05 | circa 5 |
| 10.000 | circa 0,005 | circa 50 |
| 1.000.000 | circa 0,0005 | circa 500 |
Gli scarti tipici qui indicati sono deviazioni standard. Lo scarto relativo si riduce, ma quello assoluto aumenta. Non esiste alcun meccanismo che riporti in pari i conteggi: il vantaggio iniziale delle teste non viene «restituito», viene semplicemente diluito da un numero enorme di lanci successivi.
La fallacia del giocatore
La fallacia del giocatore consiste nel credere che, dopo una serie di esiti dello stesso tipo, l'esito opposto diventi più probabile. Con prove indipendenti questo è falso: la moneta, la pallina della roulette o l'urna del lotto non hanno memoria. Dopo sette rossi consecutivi, la probabilità del prossimo rosso è esattamente la stessa di sempre.
La confusione nasce da due idee mescolate:
- è vero che una serie di otto rossi consecutivi è rara, vista in anticipo;
- ma una volta che sette rossi sono già usciti, la probabilità che diventino otto è solo la probabilità di un singolo rosso.
Il passato è già accaduto e non entra nel calcolo del prossimo esito indipendente.
L'errore opposto
Esiste anche l'errore inverso, la convinzione che una serie favorevole tenda a continuare: chi ha vinto tre mani di fila «è in vena». Con eventi indipendenti è sbagliato quanto la fallacia del giocatore. Nella realtà, però, non tutti gli eventi sono indipendenti: un atleta stanco o un sistema degradato possono davvero mostrare serie. L'indipendenza va valutata caso per caso, non presupposta né esclusa.
Quando la fallacia diventa un problema tecnico
Lo stesso errore compare fuori dai casinò:
- «Il backup non fallisce da un anno, quindi tra poco fallirà»: se i guasti sono indipendenti, il passato senza errori non aumenta il rischio futuro, anche se l'usura dei supporti è un fattore reale da considerare separatamente.
- «Abbiamo avuto tre incidenti questo mese, il prossimo sarà tranquillo»: niente compensa automaticamente una serie sfortunata.
- «Questo test è fallito cinque volte di fila, la prossima passerà»: se il fallimento ha una causa, ripetere senza cambiare nulla non la rimuove.
I campioni piccoli sono più estremi
Una conseguenza importante della legge dei grandi numeri è che i campioni piccoli producono risultati più variabili. Tversky e Kahneman resero celebre un problema di questo tipo: in quale ospedale, uno grande e uno piccolo, si registrano più giorni in cui oltre il 60% dei neonati è maschio? Molti rispondono che è indifferente, ma è l'ospedale piccolo: con poche nascite al giorno le proporzioni oscillano molto di più.
Lo stesso fenomeno spiega perché:
- le classifiche di scuole, comuni o negozi mettono spesso ai due estremi le realtà più piccole;
- un nuovo prodotto con cinque recensioni può avere una media perfetta o pessima che non dice molto;
- un test A/B fermato dopo poche centinaia di visite mostra spesso differenze vistose che poi svaniscono.
Prima di interpretare un risultato estremo, conviene sempre chiedersi su quanti casi si basa.
Una simulazione da provare
import random
teste = 0
for n in range(1, 100_001):
teste += random.random() < 0.5
if n in (10, 100, 1_000, 10_000, 100_000):
print(n, teste / n, teste - n / 2)
La seconda colonna si avvicina a 0,5, la terza no: lo scarto assoluto tra teste e metà dei lanci resta ampio o cresce. È la legge dei grandi numeri vista nella sua forma corretta.
In sintesi
- La legge dei grandi numeri riguarda le proporzioni e le medie, non i conteggi assoluti.
- Il caso non compensa le serie: le deviazioni vengono diluite, non corrette.
- Con prove indipendenti, il passato non cambia la probabilità del prossimo esito.
- I campioni piccoli producono più spesso risultati estremi.
- L'indipendenza va valutata nel contesto: non va né presupposta né esclusa a priori.
