Quanti pezzi difettosi troverò in un lotto di 20? Quanti utenti su 50 cliccheranno un pulsante? Quante risposte corrette darà, tirando a indovinare, chi affronta un test a scelta multipla? Sono tutte domande dello stesso tipo: contare quante volte si verifica un evento in un numero fisso di tentativi. La risposta è la distribuzione binomiale, una delle più usate in statistica.
Le condizioni di applicabilità
La binomiale descrive il numero di successi X in n prove quando valgono quattro condizioni:
- il numero di prove n è fissato in anticipo;
- ogni prova ha due soli esiti, convenzionalmente «successo» e «insuccesso»;
- la probabilità di successo p è la stessa in tutte le prove;
- le prove sono indipendenti tra loro.
Ogni singola prova si chiama prova di Bernoulli. Si scrive X ~ Bin(n, p).
Le condizioni vanno verificate davvero. Se peschiamo senza reinserimento da un lotto piccolo, la probabilità cambia a ogni estrazione e l'indipendenza salta; in quel caso il modello corretto è l'ipergeometrica. Se il lotto è molto grande rispetto al campione, la binomiale resta però un'ottima approssimazione.
La formula
La probabilità di ottenere esattamente k successi è:
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
dove C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) è il coefficiente binomiale. La logica è chiara se la si legge a pezzi:
- pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ è la probabilità di una particolare sequenza con k successi e n − k insuccessi;
- C(n, k) conta quante sequenze diverse hanno esattamente k successi.
Un esempio piccolo
Lanciamo una moneta equilibrata 4 volte. Qual è la probabilità di ottenere esattamente 2 teste? Le sequenze con due teste sono C(4, 2) = 6 (TTCC, TCTC, TCCT, CTTC, CTCT, CCTT), ognuna con probabilità (1/2)⁴ = 1/16. Quindi P(X = 2) = 6/16 = 0,375.
Media e varianza
Per la binomiale non serve sommare tutti i casi: grazie alla linearità dell'attesa si ottiene subito
- media: E[X] = n · p
- varianza: Var(X) = n · p · (1 − p)
Il motivo è che X è la somma di n variabili indipendenti che valgono 1 con probabilità p e 0 altrimenti; ognuna ha media p e varianza p(1 − p).
La varianza è massima quando p = 0,5 e si riduce quando p si avvicina a 0 o a 1: se un evento è quasi certo o quasi impossibile, c'è poca incertezza sul numero di successi.
Un esempio completo: controllo qualità
Un processo produce pezzi con una probabilità di difetto del 5%. Si estrae un campione di 20 pezzi da una produzione ampia. Calcoliamo alcune probabilità.
- Nessun difetto: P(X = 0) = 0,95²⁰ ≈ 0,358.
- Esattamente un difetto: P(X = 1) = 20 · 0,05 · 0,95¹⁹ ≈ 0,377.
- Esattamente due difetti: P(X = 2) = 190 · 0,05² · 0,95¹⁸ ≈ 0,189.
- Tre o più difetti: 1 − (0,358 + 0,377 + 0,189) ≈ 0,075.
La media attesa è 20 · 0,05 = 1 difetto, con deviazione standard √(20 · 0,05 · 0,95) ≈ 0,97.
Questi numeri sono la base di un piano di campionamento. Se la regola è «rifiuto il lotto quando trovo tre o più difetti», un processo che funziona regolarmente al 5% viene comunque rifiutato circa 7,5 volte su 100. È un errore di primo tipo, e conoscerne la frequenza permette di scegliere la soglia in modo consapevole.
Calcolare con Python
Con la libreria SciPy i calcoli diventano immediati:
from scipy.stats import binom
n, p = 20, 0.05
print(binom.pmf(0, n, p)) # P(X = 0)
print(binom.cdf(2, n, p)) # P(X <= 2)
print(binom.sf(2, n, p)) # P(X > 2), cioè P(X >= 3)
print(binom.mean(n, p), binom.std(n, p))
La funzione sf (survival function) calcola direttamente la coda destra ed è più precisa di 1 - cdf quando le probabilità sono piccolissime.
Errori frequenti
- Dimenticare il coefficiente binomiale: la probabilità di 2 teste su 4 lanci non è (1/2)⁴, perché le sequenze favorevoli sono sei.
- Confondere «esattamente» con «almeno»: «almeno 3» richiede di sommare P(3), P(4) e così via, oppure di usare il complementare.
- Applicarla a prove dipendenti: utenti dello stesso ufficio, guasti dello stesso lotto o risposte influenzate a vicenda violano l'indipendenza e rendono la varianza reale maggiore di n · p · (1 − p).
- Usare un p non costante: se la probabilità di clic cambia molto tra gruppi di utenti, sommare tutti in un'unica binomiale nasconde l'eterogeneità.
Collegamenti con altre distribuzioni
Quando n è grande e p è piccolo, la binomiale è ben approssimata dalla distribuzione di Poisson con parametro λ = n · p. Quando invece n è grande e p non è troppo vicino a 0 o a 1, la forma della binomiale si avvicina a quella della normale, con la stessa media e la stessa varianza. Queste approssimazioni erano essenziali quando i calcoli si facevano a mano e restano utili per ragionare rapidamente.
In sintesi
- La binomiale conta i successi in n prove indipendenti con la stessa probabilità p.
- P(X = k) unisce il numero di sequenze favorevoli e la probabilità di ciascuna.
- Media n · p e varianza n · p · (1 − p) si ottengono senza calcoli lunghi.
- In un piano di campionamento la binomiale dice quanto spesso si rifiuta un lotto buono.
- Prove dipendenti o con p variabile rendono il modello inadeguato.
