Diciamo «c'è il 30% di probabilità di pioggia», «la moneta ha probabilità un mezzo di dare testa», «probabilmente il server è andato giù per un aggiornamento». Usiamo la stessa parola per cose molto diverse. Prima di fare qualunque calcolo conviene chiarire che cosa intendiamo, perché le diverse interpretazioni portano a modi diversi di ragionare sui dati, anche se condividono le stesse regole matematiche.
Tre modi di leggere un numero tra 0 e 1
La probabilità classica
È la definizione più antica, nata dallo studio dei giochi d'azzardo: la probabilità di un evento è il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili, a patto che tutti i casi siano ugualmente possibili. Lanciando un dado equilibrato, la probabilità di ottenere un numero pari è 3/6 = 1/2.
Il limite è evidente: funziona solo quando possiamo elencare esiti simmetrici. Non ci dice nulla su un dado truccato, sulla durata di un disco rigido o sulla probabilità che un'email sia spam. Inoltre la condizione «ugualmente possibili» rischia di essere circolare, perché presuppone già un'idea di probabilità.
La probabilità frequentista
Qui la probabilità è la frequenza relativa con cui un evento si verifica in una lunga serie di prove ripetute nelle stesse condizioni. Se lanciamo una moneta diecimila volte e otteniamo testa 5.030 volte, stimiamo la probabilità di testa intorno a 0,503.
Questa lettura è alla base della statistica classica: test di ipotesi, intervalli di confidenza, p-value. Ha il pregio di essere ancorata a dati osservabili, ma fatica con eventi unici: che senso ha parlare della frequenza con cui «questo progetto finirà in tempo»?
La probabilità soggettiva (o bayesiana)
In questa interpretazione la probabilità misura il grado di fiducia di una persona razionale in un'affermazione, dato ciò che sa. Due persone con informazioni diverse possono assegnare probabilità diverse allo stesso evento senza che nessuna delle due sbagli. La fiducia, però, non è arbitraria: deve rispettare le regole del calcolo e va aggiornata quando arrivano nuovi dati, tramite il teorema di Bayes.
È l'approccio naturale per eventi singoli e per combinare informazioni preesistenti con osservazioni nuove, come fanno i filtri antispam o molti sistemi diagnostici.
Le regole comuni: gli assiomi di Kolmogorov
Nel 1933 il matematico russo Andrej Kolmogorov propose una formulazione assiomatica che non dipende dall'interpretazione. Servono tre ingredienti:
- uno spazio campionario Ω, l'insieme di tutti gli esiti possibili (per un dado: {1, 2, 3, 4, 5, 6});
- una famiglia di eventi, cioè sottoinsiemi di Ω (ad esempio «esce un pari» = {2, 4, 6});
- una funzione P che assegna a ogni evento un numero.
Gli assiomi sono tre:
- Non negatività: P(A) ≥ 0 per ogni evento A.
- Normalizzazione: P(Ω) = 1, cioè qualcosa accade di sicuro.
- Additività: se A e B sono incompatibili (non possono accadere insieme), P(A o B) = P(A) + P(B). La versione completa estende la regola a infinite successioni di eventi a due a due incompatibili.
Tutto il resto si dimostra a partire da qui.
Conseguenze utili nella pratica
Evento complementare
Poiché A e «non A» sono incompatibili e insieme coprono Ω, si ha P(non A) = 1 − P(A). È un trucco potentissimo: spesso è più facile calcolare la probabilità che qualcosa non accada. La probabilità di ottenere almeno un sei in quattro lanci di dado è 1 − (5/6)⁴ ≈ 0,518, molto più rapida da ottenere che sommando tutti i casi.
Unione di eventi compatibili
Se A e B possono accadere insieme, sommarli conta due volte l'intersezione. La regola corretta è:
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A e B)
Esempio con un mazzo da 52 carte: la probabilità di pescare una carta di cuori o una figura (J, Q, K) è 13/52 + 12/52 − 3/52 = 22/52, perché le tre figure di cuori vanno contate una volta sola.
Monotonia e limiti
Se A implica B, allora P(A) ≤ P(B). Sembra ovvio, eppure viene violato spesso nel ragionamento intuitivo: giudichiamo più probabile una storia dettagliata («l'attacco è partito da una email di phishing e ha sfruttato una password riusata») rispetto a una sua parte («l'attacco ha sfruttato una password riusata»). Aggiungere dettagli rende una storia più convincente, ma mai più probabile.
Perché l'interpretazione conta
Le regole sono identiche per tutti, ma l'interpretazione cambia le domande lecite. Un frequentista non assegna una probabilità a un'ipotesi («il farmaco funziona»): l'ipotesi è vera o falsa, e la probabilità riguarda i dati che potremmo osservare. Un bayesiano invece può dire «sulla base dei dati, la probabilità che il farmaco funzioni è 0,9». Molti errori di interpretazione dei p-value nascono proprio dal confondere le due prospettive.
Nel mio lavoro con log e incidenti uso spesso entrambe: le frequenze storiche danno un punto di partenza, e il ragionamento bayesiano aiuta ad aggiornarlo quando emergono indizi nuovi.
| Interpretazione | Che cosa misura | Dove funziona meglio |
|---|---|---|
| Classica | Casi favorevoli su casi possibili | Giochi con esiti simmetrici |
| Frequentista | Frequenza a lungo termine | Esperimenti ripetibili, controllo qualità |
| Soggettiva | Grado di fiducia coerente | Eventi unici, aggiornamento con nuovi dati |
In sintesi
- La probabilità ha almeno tre letture: classica, frequentista e soggettiva.
- Gli assiomi di Kolmogorov forniscono regole comuni indipendenti dall'interpretazione.
- La regola del complementare semplifica molti calcoli del tipo «almeno uno».
- Per eventi compatibili bisogna sottrarre l'intersezione per non contarla due volte.
- Aggiungere dettagli a una storia non può mai aumentarne la probabilità.
