La distribuzione normale, detta anche gaussiana, è la famosa curva a campana. Compare nei manuali di statistica, nei controlli di qualità, nelle misure di laboratorio e in innumerevoli modelli. È davvero importante, ma è anche la distribuzione più usata a sproposito. Conviene sapere cosa dice, come si usa e soprattutto quando non va usata.
Le caratteristiche principali
Una normale è determinata da due soli parametri:
- la media μ, che fissa il centro della campana;
- la deviazione standard σ, che ne fissa la larghezza.
Si scrive X ~ N(μ, σ²). La curva è simmetrica rispetto alla media, quindi media, mediana e moda coincidono. Le code scendono molto rapidamente: valori lontani dalla media diventano rarissimi in fretta.
Si tratta di una distribuzione continua: la probabilità di un singolo valore esatto è zero, e si calcolano invece probabilità di intervalli, che corrispondono ad aree sotto la curva.
La regola 68-95-99,7
Per qualunque normale valgono queste proporzioni approssimate:
| Intervallo | Proporzione dei valori |
|---|---|
| μ ± 1σ | circa 68% |
| μ ± 2σ | circa 95% |
| μ ± 3σ | circa 99,7% |
Ne segue che un valore oltre 3 deviazioni standard dalla media, in una delle due direzioni, capita circa 3 volte su 1.000. Per essere precisi, l'intervallo che contiene esattamente il 95% è μ ± 1,96σ; il valore 2 è un comodo arrotondamento.
Standardizzare: i punteggi z
Ogni normale si riconduce alla normale standard, con media 0 e deviazione standard 1, calcolando:
z = (x − μ) / σ
Il punteggio z dice di quante deviazioni standard un valore dista dalla media. Permette di confrontare grandezze diverse: un voto di 27 in un esame con media 24 e deviazione standard 2 ha z = 1,5; un voto di 80 in un test con media 70 e deviazione standard 10 ha z = 1. Il primo risultato è relativamente più eccezionale.
Un esempio di controllo qualità
Una macchina taglia barre con lunghezza media 50 mm e deviazione standard 0,2 mm, e le lunghezze seguono bene una normale. Le specifiche accettano barre tra 49,6 e 50,4 mm. I limiti corrispondono a z = −2 e z = +2, quindi circa il 95% delle barre è conforme e circa il 5% viene scartato.
Se la tolleranza viene ristretta a ±0,3 mm, cioè ±1,5σ, la quota conforme scende a circa l'87%. Per tornare al 95% bisognerebbe ridurre la deviazione standard della macchina a circa 0,15 mm.
Calcolare con Python
from scipy.stats import norm
mu, sigma = 50, 0.2
dentro = norm.cdf(50.4, mu, sigma) - norm.cdf(49.6, mu, sigma)
print(dentro) # circa 0,954
print(norm.ppf(0.99, mu, sigma)) # lunghezza superata solo dall'1%
cdf dà la probabilità di stare sotto un valore, ppf fa il contrario: dato un percentile, restituisce il valore corrispondente.
Perché la normale è così diffusa
Il motivo principale è il teorema del limite centrale: la somma o la media di molte piccole influenze indipendenti tende ad avere una distribuzione approssimativamente normale, qualunque sia la distribuzione delle singole influenze. Gli errori di misura, che sono spesso la somma di tanti piccoli disturbi, si comportano così. Per lo stesso motivo le medie campionarie sono approssimativamente normali anche quando i dati di partenza non lo sono, ed è su questo che si basano molti test statistici.
Quando la normalità è un errore
Code pesanti
Molte grandezze reali hanno code molto più pesanti della normale: eventi estremi capitano molto più spesso di quanto la campana preveda. I tempi di risposta di un servizio web sono l'esempio tipico: la maggior parte delle richieste è veloce, ma una minoranza impiega molto di più. Se si stima il «caso peggiore» come media più tre deviazioni standard, si sottostimano gravemente le latenze reali. Lo stesso vale per le variazioni dei prezzi finanziari e per le dimensioni dei file.
Asimmetria e limiti naturali
Tempi, importi e conteggi non possono essere negativi. Se la media è vicina a zero e la dispersione è ampia, una normale assegnerebbe probabilità a valori negativi impossibili. Spesso in questi casi il logaritmo della grandezza è molto più vicino a una normale dei dati originali.
Miscugli di popolazioni
Se si misurano insieme due gruppi diversi, per esempio le prestazioni di due modelli di server, la distribuzione risultante può avere due picchi. Descriverla con una sola normale nasconde proprio l'informazione più interessante.
Come verificare la normalità
- Guarda i dati: un istogramma mostra subito asimmetrie e picchi multipli.
- Usa un grafico quantile-quantile: se i punti si dispongono su una retta, la normale è plausibile; curve alle estremità indicano code diverse.
- Confronta le code: conta quanti valori superano 3 deviazioni standard e confrontali con il circa 0,3% atteso.
- Diffida dei test formali da soli: con campioni enormi rifiutano la normalità per scostamenti irrilevanti, con campioni piccoli non rilevano nemmeno scostamenti grandi.
In sintesi
- La normale è definita da media e deviazione standard ed è simmetrica.
- Circa il 68%, 95% e 99,7% dei valori cade entro 1, 2 e 3 deviazioni standard.
- I punteggi z permettono di confrontare grandezze con scale diverse.
- Il teorema del limite centrale spiega perché le medie tendono alla normalità.
- Latenze, importi e dati con code pesanti non vanno trattati come normali senza verifica.
