Il problema di Monty Hall è probabilmente il rompicapo di probabilità più discusso di sempre. Prende il nome dal conduttore di un quiz televisivo americano e divenne famoso nel 1990, quando una rubrica di Marilyn vos Savant pubblicò la soluzione corretta e ricevette migliaia di lettere di protesta, anche da persone con formazione matematica. Vale la pena studiarlo non come curiosità, ma perché mostra con precisione come l'intuizione fallisca quando ignoriamo il modo in cui l'informazione è stata generata.
L'enunciato preciso
Ci sono tre porte chiuse. Dietro una c'è un'automobile, dietro le altre due una capra. Le regole, che conviene esplicitare tutte, sono queste:
- Il concorrente sceglie una porta.
- Il conduttore, che sa dove si trova l'auto, apre sempre una delle altre due porte, scegliendo sempre una porta con la capra.
- Se ha due porte con la capra tra cui scegliere, ne apre una a caso.
- Il conduttore offre sempre al concorrente la possibilità di cambiare con l'ultima porta chiusa.
Conviene cambiare? La risposta intuitiva è «è indifferente, restano due porte, quindi 50 e 50». La risposta corretta è: cambiando si vince con probabilità 2/3, restando con probabilità 1/3.
Primo ragionamento: la scelta iniziale non cambia
Quando il concorrente sceglie, ha probabilità 1/3 di aver preso l'auto. L'apertura di una porta con la capra non dà alcuna informazione sulla sua porta: il conduttore può sempre mostrare una capra, qualunque cosa ci sia dietro la porta scelta. Quindi la probabilità che la porta iniziale nasconda l'auto resta 1/3. Poiché l'auto deve essere da qualche parte, i 2/3 rimanenti si concentrano sull'unica altra porta chiusa.
Secondo ragionamento: enumerare i casi
Supponiamo che il concorrente scelga sempre la porta 1 e consideriamo dove può essere l'auto:
| Auto dietro | Il conduttore apre | Chi resta vince? | Chi cambia vince? |
|---|---|---|---|
| Porta 1 | Porta 2 o 3 | Sì | No |
| Porta 2 | Porta 3 | No | Sì |
| Porta 3 | Porta 2 | No | Sì |
Ognuna delle tre righe ha probabilità 1/3. Chi cambia vince in due righe su tre. La strategia «cambio sempre» perde solo quando la scelta iniziale era giusta, cosa che accade una volta su tre.
Terzo ragionamento: cento porte
Se l'argomento non convince, si può esagerare il problema. Le porte sono cento, il concorrente ne sceglie una, e il conduttore, sapendo dove è l'auto, apre novantotto porte con la capra lasciandone chiusa una sola oltre a quella scelta. È evidente che quella porta superstite, risparmiata da un conduttore informato tra novantanove possibili, è sospetta: contiene l'auto con probabilità 99/100. La versione a tre porte funziona allo stesso modo, solo in modo meno vistoso.
Una simulazione per convincersi
Quando l'intuizione resiste, il computer aiuta. Questo breve programma ripete il gioco centomila volte:
import random
def gioca(cambia):
porte = [0, 1, 2]
auto = random.choice(porte)
scelta = random.choice(porte)
apribili = [p for p in porte if p != scelta and p != auto]
aperta = random.choice(apribili)
if cambia:
scelta = next(p for p in porte if p not in (scelta, aperta))
return scelta == auto
n = 100_000
print("resta:", sum(gioca(False) for _ in range(n)) / n)
print("cambia:", sum(gioca(True) for _ in range(n)) / n)
I valori ottenuti oscillano intorno a 0,333 e 0,667. Scrivere la simulazione ha anche un effetto collaterale prezioso: costringe a codificare esattamente le regole, e spesso è proprio lì che ci si accorge di cosa l'intuizione aveva trascurato.
Perché l'intuizione sbaglia
L'errore nasce dall'idea che due porte chiuse siano automaticamente equiprobabili. Non è così, perché le due porte non sono simmetriche: una è stata scelta dal concorrente senza informazioni, l'altra è sopravvissuta a un filtro applicato da qualcuno che conosceva la risposta. Le probabilità dipendono dal processo che ha prodotto le osservazioni, non solo dalle osservazioni finali.
Quando le regole cambiano, cambia la risposta
Questo è il punto più istruttivo. Se modifichiamo il comportamento del conduttore, il risultato cambia:
- Conduttore ignaro: apre a caso una delle altre due porte e per puro caso trova una capra. In questo scenario, condizionando sul fatto che è uscita una capra, cambiare o restare dà effettivamente 1/2 e 1/2.
- Conduttore malizioso: offre il cambio solo quando il concorrente ha scelto l'auto. Allora cambiare fa perdere sempre.
- Conduttore che non offre sempre il cambio: la risposta dipende dalla sua regola, che il concorrente dovrebbe conoscere.
La stessa osservazione, «si è aperta una porta con la capra», ha significati diversi a seconda di come è stata prodotta.
La lezione per chi analizza dati
Nel lavoro con i dati capita spesso la stessa cosa: un report mostra solo gli incidenti che qualcuno ha deciso di segnalare, un log conserva solo gli eventi che superano una soglia, un sondaggio raccoglie solo chi ha voluto rispondere. Prima di trarre conclusioni bisogna chiedersi chi o cosa ha filtrato le informazioni che vediamo, e con quale criterio.
In sintesi
- Con le regole standard, cambiare porta vince con probabilità 2/3.
- L'apertura di una porta con la capra non dice nulla sulla scelta iniziale del concorrente.
- Enumerare i casi o simulare il gioco rende la risposta evidente.
- Se cambia il comportamento del conduttore, cambiano le probabilità.
- Le probabilità dipendono dal processo che genera l'informazione, non solo dal risultato visibile.
